Théorie du chaos 8/10 – Glossaire

Théorie du chaos 8/10 – Glossaire

Cette série d’articles consacrés à la théorie du chaos constitue la fiche de lecture du livre de James Gleick que j’ai rédigée en 2000 dans le cadre d’un 3ème cycle en organisation.

1.Introduction | 2.De la SA (science absolue) à la SARL (science à rationalité limitée) | 3.De l’ordre au chaos | 4.Le miroir : de l’ordre au chaos à l’ordre | 5.Du chaos à l’ordre | 6.Conclusion | 7.Compléments au livre de Gleick | 8.Glossaire | 9.Sommaire du livre


Paradigme

La paternité de ce concept revient au philosophe et historien des sciences Thomas Kuhn qui l’a développé en 1962 dans un ouvrage intitulé The structure of scientific revolution. Kuhn propose l’hypothèse que chaque époque de l’histoire produit, par ses pratiques sociales, par son langage,par son expérience du monde, une structure imaginaire. Cette structure imaginaire, qu’il appelle  » paradigme « , s’impose à tous les domaines de la pensée, à tous les discours, même opposés, durant cette époque.

Un paradigme est donc une certaine vision du monde qui sert de cadre de référence, de moteur fédérateur à toutes les pensées’normales  » de l’époque. Ce qui sort cette normalité relève d’un changement de paradigme, mutation qui se produit quand l’expérience vécue des hommes change, au point de changer leur vision du monde.

Holisme

Concept philosophique opposé au réductionnisme. Alors que le réductionnisme préconise que le tout peut être décomposé et analysé en termes de ses composantes considérées comme fondamentales, le holiste pense que c’est le tout qui est fondamental et que celui-ci ne peut être déduit de l’étude de ses composantes, le tout étant souvent plus grand que la somme des composantes.

Loi de Newton

Elle exprime que la matière attire la matière et que la force d’attraction entre deux corps est proportionnelle à leurs masse est inversement proportionnelle au carré de leur distance.

Modèle déterministe et modèle stochastique

Le déterminisme est une théorie selon laquelle les phénomènes naturels et les faits humains sont causés par leurs antécédents.

Pour expliquer le principe de causalité, le savant français Pierre-Simon de Laplace recourait à une métaphore qui par la suite a été appelée le  » démon de Laplace « . Il affirmait, en effet, que l’état présent de l’Univers est un effet de son état précédent et la cause de son état suivant, et il ajoutait :  » Une intelligence qui, à un moment donné, connaîtrait toutes les forces qui animent la nature, et la situation respective des êtres qui la composent, si elle était assez élevée pour soumettre toutes ces données à l’analyse (c’est-à-dire à l’analyse mathématique), renfermerait dans la même formule les mouvements des plus grands corps de l’Univers et de l’atome le plus léger : rien ne serait incertain pour elle, et l’avenir comme le passé serait présent à ses yeux « .

Le principe du déterminisme est en quelque sorte inné dans la science, puisqu’il confère un sens à la recherche scientifique.Ce sens consiste, en définitive, dans l’idée qu’il existe des lois qu’il est possible et significatif de déterminer. Autrement dit, la science est une connaissance rationnelle parce qu’elle démontre les connexions réelles entre les causes et les effets, et qu’elle n’a pas recourt dans ses explications à des éléments ésotériques ou mystiques.

Un modèle est déterministe s’il ne fait pas appel au calcul de probabilités. Un modèle est stochastique s’il fait appel au calcul de probabilités.

Jusqu’à présent, lorsque le physicien, le biologiste ou l’économiste rencontrait un phénomène irrégulier ou aléatoire, il en cherchait un modèle stochastique, dans l’idée qu’un modèle déterministe conduisait nécessairement à un comportement régulier et prédictible, en contradiction justement avec le phénomène qu’il cherchait à modéliser. La théorie duchaos propose un modèle déterministe, mais chaotique.

Espace des phases

Il est possible de suivre l’évolution de l’état d’un système physique dans le temps. Pour cela, on construit d’abord un modèle avec les lois physiques et les paramètres nécessaires et suffisants pour caractériser le système.

Ce modèle est constitué par des équations différentielles.On définira, à un instant donné, un point dans un « repère ». Ce point caractérisera l’état du système dans l’espace à cet instant. Cet espace est appelé « l’espace des phases ». Lorsque le temps s’écoule, le point figurant l’état du système décrit en général une courbe dans cette espace. On parle alors de son orbite.

Il faut bien comprendre qu’il n’existe aucune relation entre notre espace physique tridimensionnel et un cas d’espace à trois dimensions. Il s’agit là d’un espace purement mathématique qui comporte autant de dimensions qu’il y a de paramètres dans le système dynamique étudié. Ainsi on pourrait très bien imaginer se retrouver à manipule run espace de phases à 216 dimensions, si le système dynamique analysé implique 216 paramètres (toute difficulté géométrique mise à part…).

Dans l’espace des phases, la position d’une balle de tennis est déterminée non pas par les trois coordonnées spatiales, mais aussi par trois coordonnées de vitesses : la vitesse de haut en bas, celle de droite à gauche, celle d’avant en arrière (ou vice versa). Il faut donc six dimensions pour y décrire une balle de tennis. Aussi compliqué quesoit le système étudié, aussi baroque que soit le décor, aussi nombreux que soient les acteurs, un seul point dans cet espace abstrait suffit à représenter la totalité d’un système.

Types d’attracteurs dans l’espace des phases

Le système (a) converge vers un état d’équilibre après maintes oscillations, ce qui correspond dans l’espace des phases à des boucles qui convergent vers un point. Le système (b) se répète périodiquement,ce qui correspond dans l’espace des phases à une orbite cyclique. Le système(c) a également un mouvement périodique mais plus complexe ; il se répète seulement après trois oscillations différentes : on dit qu’il possède un cycle de période 3. Cela correspond à des boucles plus compliquées dans l’espace des phases. Le système (d) est chaotique, et dans l’espace des phases possède la forme en aile de papillon de l’attracteur étrange de Lorenz.

Temps caractéristique

Un système chaotique amplifie les écarts initiaux. Le temps caractéristique du système est le temps au bout duquel les écarts sont multipliés par 10 : deux trajectoires distantes de D au départ se retrouveront distantes de 10 D au bout du temps caractéristique. Ces écarts s’amplifient de façon exponentielle (il y a autant de zéros que d’unités de temps écoulées).

Plus le temps caractéristique du système est court, plus le système amplifie rapidement, plus il sera chaotique. Mais cette amplification des écarts est limité par les limites de l’univers (40T). A partir d’un certain moment, le phénomène d’amplification cesse, le zoom ne fonctionne plus. C’est dans l’amplification des petits écarts que se loge le hasard.Le principe de base du déterminisme est que deux positions initiales identiques reproduiront la même trajectoire. Le malheur, c’est qu’il est impossible de redonner à un système physique exactement la même position ; il y aura toujours un écart, fût-il de l’épaisseur d’un atome. Neuf fois le temps caractéristique d’un système chaotique (9 puissance de 10), est l’écart atteint le mètre. On obtient ainsi des phénomènes macroscopiques que l’on attribuera au hasard parce que leurs causes sont imperceptibles.

Le système solaire aurait un temps caractéristique de l’ordre de dix millions d’années.

Système linéaire et système non-linéaire

Un système physique est dit  » linéaire  » quand le tout est exactement égal à la somme des composantes. Ni plus, ni moins. Dans un tel système la somme de causes produit une somme correspondante d’effets,et il suffit d’étudier séparément les comportements individuels des composantes,puis de les additionner, pour déduire le comportement du tout.

Des phénomènes aussi divers que la trajectoire d’un obus de canon, la croissance d’une plante, la combustion du charbon et le rendement d’une machine peuvent être décrits à l’aide d’équations linéaires dans lesquelles de petites modifications entraînent de petits effets et où de grands effets s’obtiennent par l’addition de petites modifications.Les équations non linéaires s’appliquent de manière spécifique aux éléments discontinus tels que les explosions, les cassures brusques des matériaux et les grands vents.

Pour comprendre un comportement linéaire, considérons par exemple le poids d’une éponge qu’on mouille sous un robinet. Au début,le poids de l’éponge imbibée d’eau est proportionnelle au nombre de gouttes d’eau qu’elle absorbe. Le poids de l’éponge double quand elle absorbe deux fois plus de gouttes d’eau et triple quand elle recèle trois fois plus de gouttes d’eau. On dit que la relation entre le poids de l’éponge et le nombre de gouttes d’eau est linéaire (le mot vient du fait que si,dans un système de coordonnées, vous portiez le nombre de gouttes d’eau en abscisse et le poids de l’éponge en ordonnée, vous obtiendrez une suite de points qui se situeraient sur une ligne droite). Mais le comportement de l’éponge change quand elle devient trop imbibée d’eau. Sa capacité d’absorption de l’eau diminue graduellement, jusqu’à devenir égale à zéro. Le poids de l’éponge cesse d’augmenter proportionnellement au nombre de gouttes qui lui tombent dessus. De linéaire, le comportement de l’éponge est devenu non linéaire. Finalement, le poids de l’éponge se stabilise,car elle ne peut plus absorber d’eau. Elle est saturée.

Avec les équations linéaires, la solution permet de généraliser d’autres solutions ; ce n’est pas le cas avec les équations non linéaires.Bien qu’elles partagent certaines qualités universelles, les solutions non linéaires tendent à être obstinément individuelles et particulières.Contrairement aux courbes régulières obtenues par les élèves des classes de mathématiques du secondaire lorsqu’ils représentent des équations linéaires,la représentation d’équations non linéaires comprendra des cassures, des boucles, des récursions – toutes sortes de turbulence.

En injectant différentes valeurs dans des équations non linéaires, les scientifiques étudiant la théorie des systèmes parviennent à représenter les effets que diverses politiques et stratégies auraient sur l’évolution des villes, la croissance d’une société ou le fonctionnement d’une économie. A l’aide de modèles non linéaires, il est possible de localiser dans de tels systèmes des points critiques, au niveau desquels une modification infime peut avoir un impact d’une importance disproportionnée.

Théorie de la Relativité

En 1905, Einstein énonce sa théorie géométrique de la Relativité restreinte concernant les mouvements relatifs et qui établit l’intime connexion entre le temps et l’espace. Ces derniers ne sont plus universels, mais dépendent du mouvement de l’observateur. De même la masse varie en fonction du mouvement. Dans cette théorie, la vitesse de la lumière est la même pour tous les observateurs (300.000 km/h).

En 1915, il énonce sa théorie de la Relativité générale qui relie un mouvement accéléré à la gravité et à le géométrie de l’espace-temps.

Mécanique quantique

Branche de la physique qui décrit la structure et le comportement des atomes et leurs interactions avec la lumière. Les probabilités y jouent un rôle essentiel. Dans cette théorie, l’énergie et d’autres quantités sont des grandeurs quantifiées, c’est-à-dire qui ne peuvent varier que de façon discontinue par quantités distinctes et multiples d’une valeur élémentaire. Quelques-uns des phénomènes que la mécanique quantique prédit sont le flou quantique, la dualité particule-onde, les fluctuations quantiques et les particules virtuelles.

Système dynamique

Un système dynamique consiste en un espace de phases (*)dont les coordonnées décrivent l’état dynamique du système à n’importe quel moment et dont une règle dynamique spécifie la tendance future immédiate de toutes les variables d’état composant le système, donnée par la valeur présente de ces mêmes variables d’état.

Un système dynamique peut être qualifié de « déterministe »s’il existe une et une seule conséquence ou phase à chaque état. Il est qualifié de « stochastique » ou « aléatoire » s’il existe une ou plusieurs conséquences ou phases possibles à partir d’une distribution de probabilités des phases possibles.

Rétroaction

La rétroaction constitue une différence entre les équations linéaires et non linéaires – les équations comprennent des termes, qui,de manière répétée, sont multipliés par eux-mêmes.

Le système le plus courant de régulation par rétroaction est celui commandant la chaudière de notre habitation. Quand la température des pièces diminue jusqu’au dessous d’une valeur réglée sur le thermostat,celui-ci réagit en allumant la chaudière qui réchauffe alors la pièce.Lorsque la température de la pièce dépasse une seconde température réglée sur le thermostat, celui-ci commande l’extinction de la chaudière. L’action du thermostat influence la chaudière, dont l’activité influence elle-même le thermostat. La chaudière et le thermostat sont pris à l’intérieur de ce qu’en jargon technique on appelle une boucle de rétroaction négative.Ce n’est que dans les années 40 que les boucles de rétroaction négative sfurent reconnues comme telles. Dans le courant des années 50, des scientifiques prirent conscience qu’il existait d’autres types de rétroaction : la rétroaction positive par exemple.

Le sifflement strident produit par un système de sonorisation lorsque le micro est placé trop près des hauts-parleurs constitue un exemple de rétroaction positive. La sortie de l’amplificateur est récupérée parle microphone et renvoyée en une boucle dans l’amplificateur qui la diffuse alors par les hauts-parleurs. Le son chaotique est le résultat d’un processus d’amplification dans lequel la sortie d’une étape devient l’entrée d’une autre.

Les qualificatifs  » négative  » et  » positive  » utilisés pour qualifier la rétroaction ne constituent en rien un jugement de valeur.Ils indiquent simplement qu’un type de rétroaction opère une régulation tandis que l’autre effectue une amplification. On admet aujourd’hui que les deux types essentiels de rétroaction se retrouvent partout : à tous les niveaux des systèmes vivants, dans l’évolution de l’écologie, dans la psychologie de la vie quotidienne et dans les termes mathématiques des équations non linéaires. La rétroaction, tout comme la non linéarité,personnifie une tension fondamentale entre ordre et chaos.