Théorie du chaos 4/10 – Le miroir : de l’ordre au chaos à l’ordre

Théorie du chaos 4/10 – Le miroir : de l’ordre au chaos à l’ordre

Cette série d’articles consacrés à la théorie du chaos constitue la fiche de lecture du livre de James Gleick que j’ai rédigée en 2000 dans le cadre d’un 3ème cycle en organisation.

1.Introduction | 2.De la SA (science absolue) à la SARL (science à rationalité limitée) | 3.De l’ordre au chaos | 4.Le miroir : de l’ordre au chaos à l’ordre | 5.Du chaos à l’ordre | 6.Conclusion | 7.Compléments au livre de Gleick | 8.Glossaire | 9.Sommaire du livre


Les représentations graphiques du doublement de période, les spires de l’espace des phases, les attracteurs étranges, tous ces éléments conceptuels rencontrés du côté « ordre menant au chaos » du miroir sont comparables aux rayons X. Ils permettent aux scientifiques de percevoir l’évolution de l’ossature du changement non linéaire.

Dans les anciennes mathématiques quantitatives, la mesure d’un système s’appliquait à relier graphiquement la manière dont la quantité d’une partie du système affecte les quantités des autres parties. En revanche, dans la mesure qualitative, les scientifiques ne s’interrogent pas sur l’influence d’une partie sur une autre. Ils se demandent au contraire qu’elle est l’apparence du tout, au fur et à mesure de son évolution et de son changement ; en quoi un système complet peut être comparé à un autre.

Mandelbrot et sa fractale

4.1 L’invariance d’échelle

En passant au crible des ordinateurs d’IBM les oscillations du prix du coton au cours des soixante années écoulées, le mathématicien franco-américain Benoît Mandelbrot découvrit des résultats étonnants.Ces nombres, aberrants du point de vue de la distribution normale, engendraient une symétrie du point de vue de l’invariance d’échelle. Chaque variation de prix était aléatoire et imprévisible, mais leur succession était indépendante de l’échelle : les courbes des fluctuations quotidiennes et mensuelles concordaient parfaitement. Aussi incroyable que cela paraisse, le degré de variation était resté constant sur une période tumultueuse de soixante années qui avait connu deux guerres mondiales et une dépression. Les masses de données les plus incohérentes recelaient une forme d’ordre inattendu.

Quelque temps plus tard, sollicité par les ingénieurs d’IBM qui étaient confrontés à un « bruit » perturbant dans les transmissions téléphoniques, il découvrit une relation géométrique cohérente entre les paquets d’erreurs et les espaces de transmission propres. Quelle que soit l’échelle – une heure ou une seconde – le rapport des périodes sans erreurs aux périodes avec erreurs restait constant.

Si les ingénieurs n’avaient aucun cadre théorique pour comprendre la description de Mandelbrot, ce n’était pas le cas des mathématiciens. Mandelbrot ne faisait que reproduire une construction mathématique appelée ensemble de Cantor, du nom du mathématicien du XIXe siècle Georg Cantor. Pour construire cet ensemble, vous prenez un segment de droite, vous lui ôtez le tiers du milieu. Vous obtenez deux segments dont vous enlevez à nouveau les tiers du milieu – et ainsi de suite jusqu’à l’infini. Que reste-t-il ? Une étrange poussière de points répartis par paquets infiniment nombreux et cependant infiniment clairsemés. Mandelbrot considérait les erreurs de transmission comme un ensemble de Cantor ordonné dans le temps.

Ensemble de Cantor

Cette description hautement abstraite avait une importance pratique pour les scientifiques qui devaient décider entre différentes stratégies de contrôle d’erreur. En particulier, elle signifiait qu’au lieu d’augmenter l’intensité du signal pour éliminer de plus en plus de bruit, les ingénieurs devaient s’en tenir à un signal modeste et accepter l’inéluctabilité des erreurs et adopter une stratégie de redondance pour les détecter et les corriger. Mandelbrot transforma également les conceptions des ingénieurs d’IBM sur l’origine du bruit : ils recherchaient toujours un homme en train de jouer du tournevis quelque part. L’invariance d’échelle suggérait qu’on ne pourrait jamais expliquer le bruit à partir d’événements locaux particuliers.

Mandelbrot observa l’invariance d’échelle dans les variations des cours boursiers, des débits fluviaux, des mots dans un texte, …

4.2 Une géométrie de la Nature (les fractales)

Discontinuité, éclats de bruits, poussières de Cantor: ces phénomènes n’avaient pas leur place dans les géométries des deux derniers milliers d’années. Les formes de la géométrie classique sont des droites et des plans, des cercles et des sphères, des triangles et des cônes. Elles ont un nombre de dimensions qui peut être exprimé par un nombre entier : la ligne droite a une dimension 1, une surface plane a une dimension 2 , l’espace dans lequel nous évoluons a 3 dimensions. Elles représentent une puissante abstraction de la réalité, mais une abstraction inadéquate pour comprendre la complexité : les nuages ne sont pas des sphères, les montagnes ne sont pas des cônes, les éclairs ne se déplacent pas en ligne droite. La nouvelle géométrie donne de l’univers une image anguleuse et non arrondie, rugueuse et non lisse. C’est une géométrie du grêlé, du criblé, du disloqué, du tordu, de l’enchevêtré, de l’entrelacé.

En 1967, Mandelbrot publia un article devenu célèbre « Combien mesure la côte de la Bretagne ?  » dans lequel il affirmait que toute côte a une longueur infinie. En effet, si nous procédons à une reconnaissance aérienne en survolant la côte à des altitudes différentes, les mesures obtenues seront différentes, puisque plus l’avion descend, plus sont visibles dans les photographies de nouveaux détails géographiques. Un nombre encore plus grand de détails sera présent dans le parcours (imaginaire) d’un escargot sur la ligne côtière. La longueur croît ainsi sans limite jusqu’aux échelles atomiques, où ce procédé de mesure perd finalement sa validité. Peut-être.

Les recherches de Mandelbrot débouchèrent en 1977 avec la publication d’un livre intitulé  » Les objets fractals : forme, hasard et dimension « , dans lequel il présentait la géométrie fractale comme un nouveau principe d’organisation de la nature, capable de mesurer d’autres qualités des figures, comme la rugosité, la découpure, l’irrégularité,les modalités selon lesquelles un objet remplit l’espace. Une côte sinueuse par exemple, en dépit de son incommensurabilité en termes de longueur, possède cependant un certain degré de rugosité.

On obtient une image fractale en partant d’un objet graphique auquel on applique une certaine transformation qui ajoute un élément de complexité, puis en appliquant la même transformation au nouvel objet ainsi obtenu, ce qui accroît encore sa complexité… et en recommençant à l’infini ce processus d’itération.

L’exemple le plus connu est le « flocon » de Koch. Cette « courbe » s’obtient en appliquant à chaque côté d’un triangle équilatéral une transformation un peu différente : on remplace le 1/3 central de chaque côté par 2 segments ayant la même longueur que celle qui a été prélevée.À la première itération on obtient une image proche d’une étoile de David,puis au fur et à mesure des itérations successives le résultat mime plus ou moins un flocon de neige. A quelque grossissement qu’on examine la  » courbe  » on observera la même structure. On sera donc incapable, sur un détail, de décider quel est le grossissement auquel la fractale aura été observée. On parle alors d’invariance d’échelle (ou auto-similarité).

Flocon de Koch

Ce type de courbe présente une particularité bien curieuse.A chaque itération la longueur est multipliée par 4 / 3, ce qui signifie que la longueur d’une courbe de Koch tend vers l’infini pour un nombre d’itérations infini. Et pourtant cette courbe ne déborde à aucun moment des limites constituées à l’extérieur par le cercle circonscrit au triangle initial, et à l’intérieur par le cercle inscrit dans ce triangle !

Dans la géométrie fractale, la dimension d’un objet fractal n’est pas entière. Un objet fractal peut donc avoir une dimension de Log4/ Log3 =1,26, ce qui est le cas de la courbe de Koch.

Les formes naturelles sont intimement liées aux structures fractales : les flocons de neige, les nuages, les arbres, les éponges, les côtes, les montagnes, les systèmes de faille de la Terre, la propagation des feux de forêt, la distribution des galaxies, les notes d’une composition musicale, les choux-fleurs; quelle que soit l’échelle à laquelle on regarde un chou-fleur, il a la même structure : un tronc commun qui s’évase en sous-choux-fleurs;chaque sous-choux-fleur s’évase en sous-sous-choux-fleurs, …

Il fallut attendre une dizaine d’années après que Mandelbrot eut publié ses spéculations physiologiques pour que certains biologistes théoriciens commencent à découvrir qu’une organisation fractale contrôlait les structures à tous les niveaux du corps humain. Pour que le sang soit purifié, il faut qu’il puisse entrer en contact avec un maximum d’oxygène .Or, la place disponible dans notre cage thoracique est limitée et la surface des poumons d’un être humain est supérieure à celle d’un court de tennis ! Nos bronches vont donc se diviser en bronchioles qui vont elles-mêmes se subdiviser, etc … Le système sanguin, le système urinaire, le canal biliaire dans le foie, les fibres qui transmettent les impulsions électriques au muscle cardiaque constituent d’autres formes de continuum.

Les fractales ne sont pas qu’un seul concept mathématique abstrait ; elles donnent lieu à des utilisations pratiques. Elles sont,par exemple, à l’origine des nouveaux matériaux d’isolation comme les polymères, ou de procédés de récupération du pétrole par injection de fluides sous pression dans les roches poreuses, car ces dernières sont de nature fractale. La notion d’invariance d’échelle se retrouve dans les tests de modèles réduits d’ailes d’avions et d’hélices de bateau dans des souffleries et des bassins.

Les descriptions fractales trouvent aussi une application dans une série de problèmes liés aux propriétés des contacts de surfaces: contact entre pneu et bitume, contact au niveau d’une articulation mécanique,contact électrique, … Les propriétés de ces contacts s’avèrent totalement indépendantes des matériaux mis en jeu, et ne dépendent que de la qualité fractale de l’ajustement des bosses les unes sur les autres.

A Hollywood, les fractales trouvent leur application dans la création, pour les effets spéciaux cinématographiques, de paysages incroyablement réalistes.

Sur ordinateur, on peut faire apparaître des images virtuelles d’objets naturels d’une grande complexité et d’une extraordinaire ressemblance, mais complètement imaginaires, en montrant une cascade de répétitions de motifs à différentes échelles. On peut effectuer une descente dans un puits vers l’infini microscopique à des échelles de plus en plus réduites,en traversant des espaces féeriques aux couleurs chatoyantes à la fois vivants et abstraits, familiers et étrangers. L’agrandissement progressif va jusqu’à plus de 2 milliards de fois l’image de départ sur l’écran d’ordinateur !

En se fondant sur l’existence des fractales, on peut estimer que dans la voie Lactée et dans d’autres milliards de galaxies (comprenant en moyenne des milliards d’étoiles chacune), tous les systèmes stellaires de type solaire ressemblent au nôtre. Il serait alors possible d’envisager comme vraisemblable la création de myriades de planètes dont certaines seraient habitées par des êtres vivants différents ou assez analogues à ceux de la Terre, et des civilisations aussi ou plus avancées que la nôtre.